Úlohu je možné řešit buď dosazením do jednoho ze vzorců pro výpočet látkového množství, nebo pomocí úvahy, a to sestrojením trojčlenky na přímou úměrnost.

I. způsob (dosazením do vzorce)
Využijeme vztahu pro výpočet látkového množství  $$n##s=\frac{V}{V{\rm##s_m}}$$ s užitím hodnoty molárního objemu $$V{\rm##s_m}$$.

Výpočet
§§n=\frac{V}{V{\rm##s_m}}=\frac{10}{22{,}7}=0{,}44\,\rm##smol§§

Odpověď
Látkové množství zadaného objemu kyslíku je $$0{,}44\,\rm##smol$$.

II. způsob (úvahou s trojčlenkou)
Protože díky hodnotě molárního objemu víme, jaký objem jakéhokoli plynu zaujme právě 1 mol, sestavíme následující trojčlenku na přímou úměrnost.

Výpočet
§§\begin{align*}##n\text{1##smol}\;\rm##sO_2##s&##s...............##s&##s22{,}7\rm\,dm^3\\##nx\;\text{mol}\;\rm##sO_2##s&##s...............##s&##s10\,\rm##sdm^3\\##n\hline##n\end{align*}§§
§§x=\frac{1##s\cdot##s10}{22{,}7}##s\doteq##s0{,}44##s\,##s\rm##smol§§

Odpověď
Látkové množství zadaného objemu kyslíku je $$0{,}44\,\rm##smol$$.

Úlohu je možné řešit buď dosazením do jednoho ze vzorců pro výpočet látkového množství, nebo pomocí úvahy, a to sestrojením trojčlenky na přímou úměrnost.

I. způsob (dosazením do vzorce)
Využijeme vztahu odvozeného vztahu $$V=n\cdot##sV\rm##s_m$$ pro výpočet objemu ze znalosti molárního objemu $$V\rm_m$$ a látkového množství.

Výpočet
$$V=n\cdot##sV{\rm##s_m}=7{,}2##s\cdot##s22{,}7##s=##s163{,}44\,\rm##sdm^3$$

Odpověď
Objem $$7{,}2\,\rm##smol$$ dusíku zaujímá $$163{,}44\,\rm##sdm^3$$.

II. způsob (úvahou s trojčlenkou)
Protože díky hodnotě molárního objemu víme, jaký objem jakéhokoli plynu zaujme právě 1 mol, sestavíme následující trojčlenku na přímou úměrnost.

Výpočet
§§\begin{align*}##n\text{1##smol}\;\rm##sN_2##s&##s...............##s&##s22{,}7\rm\,dm^3\\##n7{,}2\,\text{mol}\;\rm##sN_2##s&##s...............##s&##sx\,\rm##sdm^3\\##n\hline##n\end{align*}§§
§§x=\frac{22{,}7##s\cdot##s7{,}2}{1}##s\doteq##s163{,}44##s\,##s\rm##smol§§

Odpověď
Objem $$7{,}2\,\rm##smol$$ dusíku zaujímá $$163{,}44\,\rm##sdm^3$$.

Příklad je možno řešit více způsoby, ukážeme alespoň dva z nich. Jelikož je zadaný objem balónku zhruba poloviční, něž kolik je hodnota molárního objemu, očekáváme, že látkové množství helia bude poloviční, tj. přibližně $$0{,}5\,\rm##smol$$.

I. způsob
Úlohu vyřešíme úvahou na přímou úměru a sestavíme následující trojčlenku.

Výpočet látkového množství He
§§\begin{align*}##n\text{1##smol##sHe}##s&##s...............##s&##s22{,}7\rm\,dm^3\\##nx\;\text{mol##sHe}##s&##s...............##s&##s10\,\rm##sdm^3\\##n\hline##n\end{align*}§§
§§x=\frac{1##s\cdot##s10}{22{,}7}##s\doteq##s0{,}44##s\,##s\rm##smol§§

Porovnání hmotnosti balónku naplněného vzduchem a heliem
Hmotnost balónku naplněného vzduchem určíme následovně. Víme, kolik váží samotný balónek, proto zjistíme hmotnost spočteného látkového množství helia a tyto dvě hodnoty sečteme. Hmotnost helia určíme buď pomocí trojčlenky s přímou úměrou, či pomocí odvozeného vzorce $$m=n##s\cdot##sM.$$

§§M(\rm##sHe)=##s4\,\frac{g}{mol}§§
§§m({\rm##sHe})=##sn##s\cdot##sM##s=##s0{,}44##s\cdot##s4##s=##s1{,}76\,\rm##sg§§§§m(\rm##sHe+balónek)=1{,}76+2{,}70##s=##s4{,}46\,##sg§§

Pro porovnání s hmotností balónku naplněného vzduchem je jen třeba správně rozumět hodnotě hustoty vzduchu. Ta říká, kolik váží právě jeden $$\rm##sm^3$$ vzduchu. Hodnotu tedy převedeme na jednotku $$\rm##s\frac{g}{dm^3}$$, abychom mohli provést porovnání.

§§\rm##s\frac{1{,}25\,kg}{m^3}##s=\frac{1{,}25##s\cdot##s1000\,##sg}{1000\,##sdm^3}=\frac{1{,}25\,g}{dm^3}§§

Určili jsme tedy hmotnost jednoho litru vzduchu. Balónek má objem celkem $$10\,\rm##sl$$, tedy hmotnost vzduchu v takovém balónku je $$10##s\cdot##s1{,}25##s=12{,}5\,\rm##sg$$.

§§m(\text{vzduch+balónek})=12{,}5+2{,}7=15{,}2\,\rm##sg§§

Odpověď
Nafouknutý balónek obsahuje $$0{,}44$$ molů helia a takto naplněný balónek váží $$4{,}46\,\rm##sg$$, zatímco balónek naplněný vzduchem váží $$15{,}2\,\rm##sg$$.

II. způsob
Látkové množství helia v nafouknutém balónku spočteme ze vzorce pro látkové množství a molární objem $$n=\frac{V}{V\rm##s_m}.$$

Výpočet látkového množství He
§§n=\frac{V}{V\rm##s_m}=\frac{10}{22{,}7}\doteq##s0{,}44\,\rm##smol§§

Porovnání hmotnosti balónku naplněného vzduchem a heliem
Postupujeme stejně jako v předchozí variantě, hmotnost He v balónku tedy nyní pro změnu spočteme pomocí trojčlenky namísto užití vzorce.

§§\begin{align*}##n\text{1##smol##sHe}##s&##s...............##s&##s4\,\rm##sg\\##n0{,}44\,\text{##smol##sHe}##s&##s...............##s&##sx\,\rm##sg\\##n\hline##n\end{align*}§§
§§x=\frac{4##s\cdot##s0{,}44}{1}=1{,}76\,\rm##sg§§

Hmotnost balónku se vzduchem vypočteme stejně jako u první varianty řešení.

Odpověď
Nafouknutý balónek obsahuje $$0{,}44$$ molů helia a takto naplněný balónek váží $$4{,}46\,\rm##sg$$, zatímco balónek naplněný vzduchem váží $$15{,}2\,\rm##sg$$.

Příklad je možno řešit dvěma způsoby. Pro oba dva však budeme potřebovat zadaný objem převést na $$\rm##sdm^3$$, tedy $$V=9,34\,\rm##sml##s=##s0,009\,34\,\rm##sdm^3##s=##s9{,}34##s\cdot##s10^{-3}\,##s\rm##sdm^3$$.

I. způsob
Nejprve ze zadaného objemu argonu v jednom litru vzduchu zjistíme jeho látkové množství. Protože víme, jaký objem zaujímá jeden mol argonu, sestavíme následující trojčlenku na přímou úměrnost.

Výpočet látkového množství Ar
§§\begin{align*}##n\text{1##smol##sAr}##s&##s...............##s&##s22{,}7\rm\,dm^3\\##nx\;\text{mol##sAr}##s&##s...............##s&##s9{,}34##s\cdot##s10^{-3}\,\rm##sdm^3\\##n\hline##n\end{align*}§§
§§x=\frac{1##s\cdot##s9{,}34##s\cdot##s10^{-3}}{22{,}7}##s\doteq##s0{,}4##s\cdot##s10^{-3}\,##s\rm##smol§§

Nyní ze znalosti látkového množství můžeme spočítat počet atomů i jejich hmotnost. Pro výpočet hmotnosti potřebujeme znát molární hmotnost argonu, kterou vyčteme z tabulky ($$M(\rm##sAr)=##s39{,}948\,\frac{g}{mol}$$). Sestavíme tedy dvě trojčlenky.

Výpočet atomů Ar
§§\begin{align*}##n\text{1##smol##sAr}##s&##s...............##s&##s6{,}022##s\cdot##s10^{23}\,\text{##satomů##sAr}\\##n0{,}4\cdot##s10^{-3}\;\text{mol##sAr}##s&##s...............##s&##sx\,\text{##satomů##sAr}\\##n\hline##n\end{align*}§§
§§x=\frac{6{,}022##s\cdot##s10^{23}##s\cdot##s0{,}4##s\cdot##s10^{-3}}{1}=2{,}4##s\cdot##s10^{20}\,\text{atomů##sAr}§§

Výpočet hmotnosti Ar
§§\begin{align*}##n\text{1##smol##sAr}##s&##s...............##s&##s39{,}948\,\rm##sg\\##n0{,}4\cdot##s10^{-3}\text{mol##sAr}##s&##s...............##s&##sx\,\rm##sg\\##n\hline##n\end{align*}§§
§§x=\frac{39{,}948##s\cdot##s0{,}4##s\cdot##s10^{-3}}{1}##s\doteq##s0{,}016\,##s\rm##sg§§

Odpověď
Jeden litr vzduchu obsahuje $$2{,}4##s\cdot##s10^{20}$$ částic a toto množství atomů váží $$0{,}016\,##s\rm##sg$$.

II. způsob
Látkové množství argonu v jednom litru vzduchu určíme ze vzorce pro molární objem, tj.§§n=\frac{V}{V\rm##s_m}.§§

Výpočet látkového množství Ar
§§n=\frac{V}{V\rm##s_m}=\frac{9{,}34\cdot##s10^{-3}}{22{,}7}\doteq##s0{,}4\cdot##s10^{-3}\,\rm##smol§§

Nyní určíme počet atomů z odvozeného vzorce pro výpočet látkového množství $$N=n\cdot##sN\rm##s_A$$ s užitím Avogadrovy konstanty.

Výpočet počtu atomů Ar
§§N=n##s\cdot##sN{\rm##s_A}=##s0{,}4\cdot##s10^{-3}##s\cdot##s6{,}022##s\cdot##s10^{23}##s\doteq##s2{,}4##s\cdot##s10^{20}\,\text{atomů##sAr}§§

Hmotnost argonu pak vypočteme opět z odvozeného vzorce pro látkové množství, tentokrát ale ze znalosti molární hmotnosti argonu, kterou vyčteme z tabulky. 

Výpočet hmotnosti atomů Ar
§§M(\rm##sAr)=39{,}948\,\frac{g}{mol}§§§§m=##sn##s\cdot##sM##s=##s0{,}4\cdot##s10^{-3}##s\cdot##s39{,}948##s=##s0{,}016\,\rm##sg§§

Odpověď
Jeden litr vzduchu obsahuje $$2{,}4##s\cdot##s10^{20}$$ částic a toto množství atomů váží $$0{,}016\,##s\rm##sg$$.

Poznámka
Úlohu lze v případě, že použijeme vzorce, řešit i v jednom kroku, a to kombinací obou použitých vzorců. Pro výpočet množství atomů tak dostáváme vztah $$N=\frac{V}{V{\rm##s_m}}##s\cdot##sN{\rm##s_A}$$ a pro výpočet hmotnosti vztah $$m=##s\frac{V}{V{\rm_m}}##s\cdot##sM$$.

Úlohu je opět možné řešit s použitím úvahy či vzorců jak v předchozích řešených příkladech. Nejprve určíme látková množství uhlíku při spalování obou paliv a ty následně sečteme. Ze součtu látkových množství pak vypočítáme celkový objem uvolněného oxidu uhličitého.

Lze však postupovat i jinak, tedy určit látková množství a příslušný uvolněný objem $$\rm##sCO_2$$ v případě obou paliv a vypočtené hodnoty objemů nakonec sečíst. V obou případech je třeba znát hodnotu molární hmotnosti $$\rm##sCO_2$$, kterou určíme pomocí periodické tabulky prvků.

§§M(\rm##sCO_2)=44{,}01\,\frac{g}{mol}§§

Výpočet látkových množství $$\rm##sCO_2$$
benzín: §§##sn_1=\frac{m}{M}=\frac{2\,392}{44{,}01}##s\doteq##s54{,}35\,\rm##smol§§
nafta: §§n_2##s=##s\frac{m}{M}=##s\frac{2644}{44{,}01}##s\doteq##s60{,}08\,##s\rm##smol§§

Dále budeme postupovat podle první z navržených možností. Určíme tedy součet látkových množství uvolněného oxidu uhličitého a vypočteme celkový objem $$\rm##sCO_2$$ odvozeného vzorce $$V=##sn##s\cdot##sV\rm##s_m$$.

Výpočet
§§n({\rm##sCO_2})##s=##sn_1##s+n_2##s=##s54{,}35##s+##s60{,}08##s=114{,}43\,\rm##smol§§§§V({\rm##sCO_2})=##sn##s\cdot##sV\rm##s_m##s=##s114{,}43##s\cdot##s22{,}7##s\doteq##s2\,598\,##sdm^3§§

Odpověď
Při spálení jednoho litru nafty a benzínu se uvolní celkem $$114{,}43$$ molů oxidu uhličitého, což odpovídá $$2\,598\,##s\rm##sdm^3$$ tohoto plynu.

Poznámka
Jen pro představu si přepočítejme objem oxidu uhličitého na $$\rm##sm^3$$. Dostaneme tak hodnotu $$2{,}598\,##s\rm##sm^3$$. Jeden stoletý vzrostlý listnatý strom pak za den zvládne absorbovat průměrně zhruba $$0,030\,##s\rm##sm^3$$ oxidu uhličitého. Tedy spotřebovat množství uvolněného oxidu uhličitého při spálení litru benzínu a litru nafty mu bude trvat asi 87 dní.

Začneme tím, že spočítáme jaké množství oxidu uhličitého se vyprodukuje při uvaření jedné dávky piva. Jelikož jedna dávka představuje fermentaci $$200\,\rm##sg$$ cukru a $$100\,\rm##sg$$ cukru představuje vznik $$22\,\rm##sl\;##sCO_2$$, pak při vaření jedné várky piva vzniká $$44\,\rm##sl\;##sCO_2$$. Pokud tedy pivovar vaří sto dávek, vyprodukuje $$4\,400\,##s\rm##sl\;##sCO_2$$. Látkové množství vypočteme buď úvahou s pomocí trojčlenky či užitím vzorce.

Výpočet
§§\begin{align*}##n\text{1##smol}\;##s\rm##sCO_2##s&##s...............##s&##s22{,}7\,\rm##sdm^3##s\\##nx\;\text{mol}\;##s\rm##sCO_2##s&##s...............##s&##s4\,400\,##s\rm##sdm^3##s\\##n\hline##s\\##n\end{align*}§§
§§x=\frac{1##s\cdot##s4\,400}{22{,}7}##s\doteq193{,}83\,\text{mol}§§

Odpověď
Pivovar při vaření sta dávek vyprodukuje přibližně $$4\,400$$ litrů oxidu uhličitého, což odpovídá $$193{,}83$$ molům.

Nejprve převedeme zadané hodnoty na jednotky, se kterými budeme počítat, tedy spotřeba dusíku na zpracování jednoho kilogramu granulátu činí $$1\,800\,\rm##sg$$.
Nyní zjistíme celkovou spotřebu plastického granulátu za den a hodnotu vynásobíme množstvím potřebného dusíku na kilogram granulátu.

§§\begin{align*}##n&&##s1\,\rm##skg\;\text{granulátu}##s&...............&##s1\,800##s\,##s\rm##sg\;N_2##s\\##n\text{##s1##shodina}&##s...............##s&##s200\,\rm##skg\;##s\text{granulátu}##s&##s...............##s&##s200##s\cdot##s1\,800##s\,##s\rm##sg\;N_2##s\\##n\text{##s24##shodin}&##s...............##s&##s24##s\cdot##s200\,\rm##skg\;##s\text{granulátu}##s&##s...............##s&##s24\cdot##s200##s\cdot##s1\,800##s\,##s\rm##sg\;N_2##s\\##n\hline##n\end{align*}§§
§§\begin{align*}##n\text{Za##s24##shodin##sse##sspotřebuje}\;##s8\,640\,000\,\rm##sg\;N_2.##n\end{align*}§§

Následně pomocí periodické tabulky prvků určíme molární hmotnost molekuly dusíku. §§M(\rm##sN_2)=##s28{,}014\,\frac{g}{mol}§§Nyní spočítáme látkové množství potřebného dusíku. Výsledný objem vypočteme buď úvahou nebo ze vzorce pro výpočet molárního objemu.

Výpočet
§§n({\rm##sN_2})=\frac{m}{M}=\frac{8\,640\,000}{28{,}014}##s\doteq##s308\,417\,\rm##smol§§

trojčlenkou
§§\begin{align*}##n\text{1##smol}\;\rm##sN_2##s&##s...............##s&##s22{,}7\,\rm##sdm^3##s\\##n##s308\,417\;\text{mol}\;\rm##sN_2##s&##s...............##s&##sx\,\rm##sdm^3##s\\##n\hline##s\\##n\end{align*}§§
§§x=\frac{22{,}7##s\cdot##s308\,417}{1}##s\doteq##s7\,001\,066\,\rm##sdm^3§§
vzorcem§§V{(\rm##sCO_2})=n##s\cdot##sV{\rm##s_m}=##s308\,417##s\cdot##s22{,}7##s\doteq##s7\,001\,066\,\rm##sdm^3§§

Odpověď
Pro nepřetržitý denní provoz linky je třeba $$7\,001\,066$$ litrů dusíku.

Ačkoli se zdá, že ze zadání nemáme žádnou informaci, jediné co potřebujeme, je periodická tabulka prvků a znalost jednotlivých vztahů mezi hmotností, objemem a hustotou.

Z kapitoly o Avogadrově zákoně víme, že normální podmínky jsou definovány teplotou $$20\,{}^{\circ}\rm##sC$$ a tlakem $$101\,325\,\rm##sPa$$. Pak hodnota molárního objemu je rovna $$V{\rm_m}=24{,}05\,\rm\frac{dm^3}{mol}$$.

Zjistíme nejprve molární hmotnost kyslíku. §§##sM(\rm##sO_2)=##s31{,}998\,\frac{g}{mol}§§ Zároveň víme, že jeden mol kyslíku zaujímá objem $$24{,}05\,\rm##sdm^3.$$ Protože hustota má jednotky $$\rm##s\frac{kg}{m^3}$$, vypočteme hmotnost jednoho $$\rm##sdm^3$$ a následně jednotku převedeme.

Výpočet
§§\begin{align*}##n\text{1##smol}\;\rm##sO_2##s&##s...............##s&##s31{,}998\,##s\rm##sg##s&##s##s...............##s&##s##s24{,}05\,\rm##sdm^3##s\\##n&&##sx\,##s\rm##sg##s&##s##s...............##s&##s##s1\,\rm##sdm^3##s\\##n\hline##s##n\end{align*}§§
§§x=\frac{31{,}998\cdot##s1}{24{,}05}##s\doteq##s1{,}33\,\rm##sg§§

Tedy vypočetli jsme, že $$\rm##s1\,dm^3$$ má hmotnost $$1{,}33\,\rm##sg$$. Proto hustota kyslíku je rovna 

§§\rho=\frac{m}{V}=\frac{1{,}33}{1}=1{,}33\,\rm##s\frac{g}{dm^{3}}=1{,}33\,\rm##s\frac{kg}{m^{3}}§§

Odpověď
Hustota kyslíku je $$1{,}33\,\rm##s\frac{kg}{m^{3}}$$.